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2.5 Vincoli imposti sui parametri

I parametri di cui abbiamo parlato nei paragrafi precedenti e che saranno oggetto dell’ottimizzazione parametrica sono tutti soggetti a dei vincoli. In tal senso l’ottimizzazione parametrica prevede che non si lascino completamente liberi i parametri iniziali ma che siano contenuti in un certo range con dei limiti inferiori e superiori (bounded).

1. 1.2 < ti < 5 . Il rapporto iniziale spinta/peso non può scendere sotto 1.2 per avere una accelerazione sufficiente alla partenza del razzo. Il limite superiore è necessario per contenere le accelerazioni a cui è sottoposto il carico utile ed il razzo.

2. Si stabilisce anche un range di variazione per il rapporto di miscela iniziale che, per permettere un buono sfruttamento delle caratteristiche dei propellenti, deve garantire un elevato valore della velocità caratteristica c* . Tali vincoli dipendono dunque dalla combinazione di propellenti utilizzata come si puo’ notare dalla Appendice A relativa alle proprietà dei gas combusti. Con riferimento a tale appendice ed in particolare al diagramma della velocità caratteristica vediamo i vincoli per il rapporto di miscela iniziale.

LOX-HTPB : 2 < rmi < 5

HP-PE : 4 < rmi < 10

N2O-HTPB : 4 < rmi < 11

3. 20 < pci < 30 bar : sono i valori più comunemente riscontrati e assumo tale vincolo per le due combinazioni LOX-HTPB e HP-PE. Per la combinazione N2O-HTPB assumiamo come valore massimo della pressione in camera 30 bar avendo assunto una pressione nel tank ossidante pari a 50 bar.

4. 0.2 £ Ji £ 1 : il rapporto iniziale tra area di gola e sezione di passaggio dei gas combusti non deve superare il valore di 1 nel senso che la sezione di passaggio dei gas deve essere maggiore dell’area di gola. Ridurre troppo tale rapporto vorrebbe dire aumentare troppo le perdite di pressione totale a valle della camera e ridurre eccessivamente lo riempimento della camera. Nella Appendice D abbiamo riportato lo studio effettuato sulle perdite di pressione totale a valle della camera di combustione.

5. 4 £ MHei £ 21 kg : il limite inferiore per la massa di gas pressurizzante è dovuto al fatto che è richiesto un minimo tempo di funzionamento in regolazione mentre oltre al limite superiore il funzionamento è sempre in regolazione con Blow-Down Ratio = 1 e le prestazioni non migliorano più. Questo vincolo non è naturalmente necessario per lo studio della combinazione di propellenti N2O-HTPB che funziona per autopressurizzazione.

6. 1 £ e £ eMAX : il rapporto di espansione geometrico non può essere minore di 1 se vogliamo parlare di divergente e non può superare eMAX . Il valore di eMAX garantisce che non ci sia separazione dello strato limite al suolo (pressione si uscita £ 0.40 pressione atmosferica) e allo stesso tempo assicura che la sezione di uscita dell’ugello non superi quella dello stadio. In realtà il diametro dello stadio non è noto a priori ed il valore della pressione di uscita pe dipende anche da altri parametri. Per questi motivi il valore di eMAX deve essere valutato con un procedimento iterativo. Introduciamo un parametro e% per eliminare la dipendenza da eMAX :

[ - ] (2.16)

da cui si ricava

[ - ] (2.17)

Tale parametro è una normalizzazione e mentre varia tra 0 ed 1 e varia tra 0 ed eMAX . Nel primo ciclo di lavoro si ha con il valore di tentativo di e fissato a 5.

I vincoli visti fino ad ora sono riferiti ai sei parametri oggetto di ottimizzazione che saranno dunque soggetti ad un range di variazione che imporremo nel nostro codice di calcolo. Vi sono altre grandezze soggette a vincoli che devono essere invece verificate a posteriori essendo degli output del codice di calcolo. In genere dimostreremo che tali vincoli sono rispettati tranne quello sull’allungamento.

7. Non avendo previsto un sistema di raffreddamento attivo per l’ugello il tempo massimo di combustione deve essere dell’ordine dei 120 secondi.

8. ³ 0.03 mm/s (5) : la velocità di regressione non deve essere inferiore ad un certo valore detto critico per evitare fenomeni di “cottura del grano” e conseguente deterioramento del propellente.

9. Esistono due vincoli di carattere strutturale. La pressione dinamica massima non deve essere superiore a 2 bar e la accelerazione longitudinale massima deve essere inferiore a 12 g per non sollecitare troppo le strutture del razzo.

10. 20 £ L £ 40 : l’allungamento del razzo (rapporto tra la lunghezza ed il diametro esterno ) deve essere mantenuto a valori inferiori a 40 in base anche ai valori tipici dei razzi sonda che si trovano in letteratura (7). Anticipiamo che il problema principale dei razzi a propellenti ibridi è proprio quello di avere un grande allungamento che dovremo cercare di contenere entro i valori accennati sacrificando in parte le prestazioni. Nel Cap. 6 effettueremo a tal proposito un’ottimizzazione bi-obiettivo scegliendo come funzioni da ottimizzare sia il tempo di microgravità che l’allungamento.

2.4 Parametri che influenzano le prestazioni

I parametri da cui dipendono le prestazioni sono molteplici e variano anche in base alla combinazione di propellenti che utilizziamo. Nel § 2.4.1 proponiamo i parametri relativi alle combinazioni HP-PE e LOX-HTPB e nel § 2.4.2 quelli relativi alla combinazione N2O-HTPB.

2.4.1 Combinazioni HP-PE e LOX-HTPB

Nel caso delle combinazioni LOX-HTPB e HP-PE i parametri da cui dipendono le prestazioni sono complessivamente 15. Nove di questi saranno fissati e soltanto 6 sono stati considerati variabili nello studio parametrico e nella successiva ottimizzazione che abbiamo condotto. Tali parametri “liberi” sono :

1) Pressione iniziale in camera di combustione pCi

2) Il rapporto di miscela iniziale rmi

3) Il valore iniziale del rapporto tra area di gola At e sezione di passaggio dei gas Ji

4) Il rapporto di espansione geometrica e

5) Il rapporto iniziale tra spinta e peso dell’endoreattore ti

6) La massa del gas pressurizzante (elio) caricata a bordo MHe

Gli altri nove parametri che non vengono variati nell’ottimizzazione parametrica sono : la pressione iniziale e temperatura iniziale nel serbatoio del gas pressurizzante (solo per HP-PE e LOX-HTPB), la massa iniziale dell’intero razzo, la pressione iniziale all’interno del serbatoio di ossidante, l’azimut di lancio, l’angolo di lancio sullo orizzonte, il carico utile, la latitudine e la longitudine di lancio. In un primo approccio all’ottimizzazione questi parametri sono fissati a progetto. Saranno invece poi variati il carico utile e l’angolo di lancio nello studio delle prestazioni “fuori progetto”. Vediamo in dettaglio questi 9 parametri:

Pressione iniziale nel serbatoio di Elio (ptHei) : il serbatoio che noi abbiamo considerato ha un corpo cilindrico centrale (barrel) e due calotte semisferiche alle estremità. Il diametro interno di tale serbatoio corrisponde a quello della sezione finale di passaggio dei gas combusti. Per trovare lo spessore delle pareti utilizziamo due relazioni, la prima per il tratto cilindrico e la seconda per il tratto sferico :

[ m ] (2.10)

[ m ] (2.11)

dove k è il fattore di sicurezza a snervamento e s02 è la tensione di snervamento del materiale.

Nelle reazioni precedenti pHei è la pressione massima nel serbatoio. Se facciamo l’ipotesi di parete sottile possiamo scrivere :

[ m ] (2.12)

dove LcilTHe vale

[ m ] (2.13)

Con

§ [ m ] (2.14)

Sostituendo le (2.10), (2.11), (2.12) nella (2.13) e tenendo conto della (2.14) ottengo :

[ kg ] (2.15)

Da questa relazione si capisce come una pressione iniziale elevata implica una massa e quindi un peso minore del serbatoio. Questo dipende dal fatto che aumentando la pressione si riduce il volume e quindi la lunghezza del tratto cilindrico che è il più massiccio diminuisce. Per queste considerazioni concludiamo che un peso minore corrisponde sicuramente a prestazioni migliori e scegliamo una pressione iniziale nel serbatoio di elio molto alta ma compatibile con il limite dei materiali dei quali presentiamo le caratteristiche nella Appendice D. Fissiamo tale pressione a 310 bar. La temperatura iniziale nel serbatoio di elio è fissata a 298 K e il fattore di sicurezza a snervamento k=1.2.

Latitudine e longitudine di lancio : essendo stata riscontrata una loro scarsa influenza sulle prestazioni e sapendo che non è possibile lanciare da qualunque punto sulla superficie terrestre abbiamo fissato questi valori entrambi a 0° .

Angoli di Lancio (Fi , Yi ) : in generale, come si può riscontrare in letteratura, le prestazioni intese come tempo trascorso in microgravità e altutidine di apogeo sono migliori in corrispondenza di angoli di lancio sull’orizzonte elevati. Abbiamo scelto come punto di progetto un lancio in pieno est con Yi =90 °, un angolo sull’orizzonte di 85 °. Questi dati sono anche stati assunti per potere confrontare le prestazioni ottenute con il nostro modello con quelle del razzo sonda Black Brant V. Tale razzo è stato assunto come riferimento per il nostro lavoro .

Carico utile e massa complessiva iniziale del razzo (Mu e Mi ) : avendo a disposizione la mappa delle prestazioni del Black Brant V (Fig. 1.2) per diversi valori del carico utile e degli angoli di lancio sull’ orizzonte abbiamo considerato al punto di progetto un carico utile di 136.02 kg (300 libbre pari a quello del Black Brant V per avere un più immediato confronto). In corrispondenza assumiamo una massa iniziale del razzo pari a 2500 kg.

Pressione iniziale nel serbatoio dell’ ossidante (ptOi) : Il volume all’interno del serbatoio dell’ossidante dipende solo dalla massa di ossidante che essendo liquido presenta densità costante (anche se minime variazioni si possono riscontrare). La pressione migliore è la più bassa possibile in modo che si possano avere delle pareti più sottili ed un peso più contenuto. Tale pressione è stata fissata ad un valore pari ad 1.5 volte la pressione iniziale in camera : è questo il valore minimo che garantisce una stabilità incondizionata di combustione durante il funzionamento.

Temperatura iniziale del gas pressurizzante : Non avendo previsto particolari sistemi di condizionamento tale temperatura è stata fissata a 298 K (ambiente esterno).

2.4.2 Combinazione N2O-HTPB

Il protossido di azoto ha la capacità di autopressurizzarsi e per il funzionamento del razzo alimentato con N2O-HTPB non è previsto il gas pressurizzante elio. I parametri da cui dipendono le prestazioni saranno allora di meno rispetto al caso precedente. In totale saranno 12. In particolare i parametri considerati nello studio parametrico e di ottimizzazione iniziale che abbiamo condotto sono :

1) Pressione iniziale in camera di combustione pCi

2) Il rapporto di miscela iniziale rmi

3) Il valore iniziale del rapporto tra area di gola At e sezione di passaggio dei gas Ji

4) Il rapporto di espansione geometrica e

5) Il rapporto iniziale tra spinta e peso dell’endoreattore ti

Semplicemente rispetto al caso precedente manca la massa iniziale del gas pressurizzante.

Gli altri sette parametri che inzialmente non vengono presi in considerazione nella ottimizzazione parametrica sono : la massa iniziale dello intero razzo, la pressione iniziale all’interno del serbatoio di ossidante, l’azimut di lancio, l’angolo di lancio sullo orizzonte, il carico utile, la latitudine e la longitudine di lancio. Questi sono i parametri che nella fase di ottimizzazione sono fissati a progetto. Tralasciando le considerazioni analoghe a quelle del paragrafo precedente per questa combinazione di propellenti un discorso a parte merita la pressione iniziale all’interno del serbatoio di ossidante e cioè la pressione nel serbatoio del protossido di azoto.

Pressione iniziale nel serbatoio dell’ ossidante (ptOi) : nel caso del protossido di azoto liquido la pressione nel serbatoio dell’ossidante è determinata dalla temperatura esterna. Per questa pressione abbiamo assunto un valore pari ad 50 bar che è la tensione di vapore saturo dell’ N2O corrispondente ad una temperatura ambiente pari a circa 20 °.